向量的概念

　　既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。

向量的几何表示

　　具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）

　　有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。

　　有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。

　　相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

　　两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，

　　向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，

　　在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）

　　长度等于0的向量叫做零向量，记作0。

　　零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。

　　长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

向量的运算

　　加法运算

　　AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点）

　　已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

　　对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。

　　|a＋b|≤|a|＋|b|。

　　向量的加法满足所有的加法运算定律。

　　减法运算

　　AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减数）

　　与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。

　　（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

　　数乘运算

　　实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ a的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

　　设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

　　向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

　　已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a•b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

　　a•b的几何意义：数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

　　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

　　向量的数量积的性质

　　(1)a·a=∣a∣^2≥0

　　(2)a·b=b·a

　　(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)

　　(4)a·(b+c)=a·b+a·c

　　(5)a·b=0⇔a⊥b

　　（6）a=kb⇔a//b

　　（7）e1•e2=|e1||e2|cosθ=cosθ

平面向量的基本定理

　　如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a= λ*e1＋ μ*e2。

相关练习

　　1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0. 对

　　2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．错（当a⊥b时，a · b=0）

　　3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 错（当a⊥b时（当a和b都不为零，且a⊥b时，a · b=0）

　　4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 错（可以都不为0，当a⊥b时，a · b=0成立）

　　5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 错（当b=0时）

　　6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立．错（a≠0且同时垂直于b，c时也成立）

　　7．对任意向量 a 有a*a=∣a∣* ∣a∣ 对